Y-elágazás geometriai optimalizációja

Az áramlás szimuláció vektorábrája

Amint azt korábbi cikkükben írtuk, a későbbiekben igyekszünk röviden bemutatni néhány, a hazai műszaki felsőoktatásban született tudományos dolgozatot Olvasóinknak. (A korábbi, reverse engineering témájú TDK dolgozatról szóló cikkünk ITT érhető el.)
A jelen cikkben szereplő dolgozat egy optimalizálási feladatról szól. Az optimalizálás módszere nem nevezhető hagyományosnak, a folyamatot genetikus algoritmussal oldották meg.

A dolgozatot Csányi Róbert készítette, konzulense Dr. Hős Csaba – adjunktus és Bene József – doktorandusz, a dolgozat a BME Hidrodinamikai Rendszerek Tanszékén készült.

A természetben és az emberi testben fellelhető elágazások, érelágazások vélhetően közös tulajdonsága, hogy áramlástanilag optimálisak. Ez abból a megállapításból következik, ha az emberi testnél maradunk, hogy a szívnek kisebb megterhelést jelent egy kis ellenállású érszakasz.

A TDK dolgozatomban az Y alakú elágazások áramlástani optimalizációjával foglalkoztam, különös tekintettel a geometriára (átmérő és hajlásszög), valamint az ellenállásra. Numerikus áramlástani szimulációk és egy optimalizáló algoritmus segítségével adott térfogatáram-arány esetére meghatároztuk a legkisebb teljesítményveszteségű geometriát.

Az elágazásban létrejövő nyomás-, ill. teljesítményveszteségek nagymértékben függnek az elágazás geometriájától. Ezek a geometriai paraméterek a bemenő és kimenő átmérők, valamint az elágazások szögelhajlásai.

Az optilalizálást az ún. genetikus algoritmussal végeztem. A mérnöki gyakorlatban alkalmazott egyre bonyolultabb modellek és számítási módszerek mozdították előre az optimalizálási feladatok számítógéppel történő megoldásának igényét. Az optimalizációs módszereket két csoportba sorolhatjuk: determinisztikus illetve a heurisztikus eljárás. Régebben leginkább a determinisztikus algoritmusokat részesítették előnyben, ám manapság a heurisztikus módszerek egyre szélesebb körben kezdenek elterjedni. Ennek oka, hogy a determinisztikus optimalizációnál ugyan garantált a konvergencia, ám felhasználásuk korlátozott. A heurisztikus megoldásnál a modellre illetve a feltételekre vonatkozólag nincsen megkötés (lineáris/nemlineáris), ezért összetettebb problémánál célravezetőbb ennek a használata. Hátrányuk, hogy nincs egzakt matematikai hátterük, ezért működésüket nem lehet előre jelezni és a konvergencia nem garantált.

A genetikus algoritmus folyamatábrája

A genetikus algoritmus először az alapparaméterek definiálásával kezdődik, melyek az egyedszám, a generáció szám (ami meghatározza a ciklusok számát) és egyéb a futást befolyásoló paraméterek lehetnek. A következő lépésben generáljuk a populációt a korábban meghatározott egyedszámmal. Ezt követi az egyed értékadása, ami a természethez hasonlóan véletlen számok generálásából áll, esetünkben a be és kimenő átmérő valamint a két szögelhajlás. Ezek után egy un. fitneszértéket rendelünk az egyedünkhöz, ami, ha az y elágazásra gondolunk, akkor a csőszerelvényre vonatkozó ellenállás érték. A következő fázis az elitizmus, mikor az előző generáció legjobb egyedeit visszaírjuk a következő generáció legrosszabb egyedei helyébe, ezzel elősegítve a minél gyorsabb konvergenciát. Ezt követi a szülők kiválasztása, ahol a generáción belül kiválasztott két egyed közül csak a jobb fitnesz értékűnek engedjük az utódlást, amit a következő egyenletek szemléltetnek:

u₁=s₁+k*(s₂-s₁)
u₂=s₂+k*(s₂-s₁)

Az utódok lehetséges elhelyezkedése a szülőkhöz képest a számegynesen

Ahol u_i az utód változója s_i a szülő változója k egy véletlen érték 0 és 1 között. Végső soron alkalmazhatunk mutációt, melynek során egy egyed értékeit véletlen számokkal töltjük fel, ezzel elkerülhetjük a lokális maximum körüli problémákat. Az iterációk száma az alapparaméterként megadott generáció számtól függ.

Minden egyed más geometriai paraméterekkel rendelkezik, így a végeselem háló is más. A hálót egy külön C programnyelven íródott alkalmazás készíti el adott bemenő értékek alapján. Ezt a programot Bene József készítette és bocsájtotta rendelkezésemre.

Egy egyed kinagyított hálózása

Az áramlástani vizsgálat stacionárius volt, holott az emberi testben a szív pumpálása periodikus, így célszerűbb lett volna tranziens vizsgálatot folytatni, ám ezzel az elhanyagolással jelentősen lecsökkentettük a számítási időt. Az alkalmazott modell 2D-s, tehát a “z” irányú kiterjedését végtelen nagynak tekinthetjük. A közeg kezdetben víz, majd vér volt. A turbulencia modell k-epszilon. Peremfeltételként előírtam belépő statikus nyomást és a kilépésnél pedig tömegáramot. Vér esetében az áramlás lamináris, míg víz esetében turbulens volt.

Az eredmények összehasonlítását az un. Murray törvénnyel végeztem, mely egy összefüggést határoz meg a bemenő illetve kimenő átmérők között. Ez az összefüggés:

d_be^α=d_ki,1^α + d_ki,2^α

Az átmérő paraméterek (amik az összefüggésben d-vel vannak jelölve) hatvány  esetén optimális. Azonban a Murray törvény levezetését egyenlő szárú szögek esetére végezték, azonban az általam alkalmazott számítás megengedi a különböző hajlásszög értékeket.

Három különböző számítást végeztem, melynek sajátosságait és eredményeit az alábbi táblázat szemlélteti:

Az egyenlőtlen kimenő térfogatáramú, vér közegű Y-elágazás áramvonal ábrája

A számítás során a szögelhajlásnak egy minimális értéket adtam meg, ami a 0,2 rad volt. Könnyű belátni, hogy a minimális szögérték áramlástanilag a legkedvezőbb, az adja a legkisebb ellenállás értéket. Azonban a természetben a teljesítményveszteség minimalizálásán kívül van még egy nagy szempont az optimalizálásban, hogy a közeget az y elágazás segítségével térben el kell különíteni, így a nulla vagy a minimális szögérték ott nem teljesülhet.

Ha összehasonlítjuk a Murray összefüggéssel kiszámolt értékkel a bemenő átmérőket a kimenő átmérők függvényében, úgy rendre, 32,45 mm, 7,76 mm és 9,46mm-t kapunk. Ha jól megnézzük, valóban törvény egyenlő tömegáram esetében működik pontosabban. Talán jobb értékeket kapnánk a Murray összefüggéssel, amennyiben az α-t pontosítanánk.

Írta:
Csányi Róbert